Chapitre 2 : Modèles d’analyse spatiale des systèmes électroacoustiquesChapter 2: Models for the spatial analysis of electroacoustic systems

Nous avons la capacité d’enregistrer et de reproduire les sons depuis environ une centaine d’années. Durant cette période, une multitude de types de support ont été utilisés pour la transmission et le stockage de l’information sonore, les changements de technologie étant généralement justifiés par l’augmentation de la fidélité dans le système. En regard de la fidélité spectrale et dynamique, nous avons atteint un très haut niveau de réalisme. La fidélité spatiale a aussi progressé, mais, à notre avis, les intervenants dans le domaine et le grand public manquent d’outils pour apprécier, comparer et décrire les capacités de spatialisation des différents systèmes.We have been able to record and reproduce sound for about a hundred years. During this period, a multitude of media have been used for the transmission and storage of sound information, changes in technology generally being justified by increased fidelity in the system. In terms of spectral and dynamic fidelity, we have reached a very high level of realism. Spatial fidelity has also progressed but, in our opinion, those working in the field and the general public lack the tools to appreciate, compare and describe the spatialization capabilities of the various systems.

Au fil de nos recherches, nous avons distingué deux philosophies de conception des systèmes électroacoustiques quant à leurs capacités de spatialisation sonore. Tous les systèmes employant des transducteurs de captation et de reproduction sont issus de l’une ou l’autre de ces philosophies. Quand il s’agit d’enregistrement et de reproduction tridimensionnels, elles ne sont pas réellement en opposition, dans la mesure où elles procèdent du même constat de départ : la stéréophonie, telle qu’exploitée actuellement, n’est pas satisfaisante au niveau de la spatialisation ou du positionnement tridimensionnel des sons.In the course of our research, we have identified two design philosophies for electroacoustic systems with regard to their capacity for sound spatialization. All systems using capture and reproduction transducers derive from one or the other of these philosophies. When it comes to three-dimensional recording and reproduction, they are not really in opposition, insofar as they start from the same observation: stereophony, as currently used, is not satisfactory in terms of spatialization or three-dimensional positioning of sounds.

La première approche prend le système auditif humain comme le point final de la chaîne électroacoustique81. La conséquence principale de cette prise de position est qu’on peut concevoir un système électroacoustique qui n’utilisera ainsi que deux canaux d’information, étant donné qu’en condition normale d’écoute le cerveau obtient une quantité et une qualité suffisantes d’informations, pour le positionnement spatial des sons, avec un maximum de deux canaux. La deuxième philosophie, qui, dans certains cas, émane de l’expérience pratique plutôt que d’une véritable réflexion scientifique, veut que le point final de la chaîne électroacoustique soit l’espace acoustique, la salle, la pièce, où cette reproduction a lieu81. Cette approche, qui reste encore pour le moment la plus exploitée, n’a toutefois pas toujours engendré la démarche scientifique nécessaire.The first approach takes the human auditory system as the end point of the electroacoustic chain81. The main consequence of this position is that one can design an electroacoustic system that uses only two channels of information, given that under normal listening conditions the brain obtains sufficient quantity and quality of information for the spatial positioning of sounds with a maximum of two channels. The second philosophy, which in some cases stems from practical experience rather than from genuine scientific reflection, holds that the end point of the electroacoustic chain is the acoustic space, the hall, the room, where the reproduction takes place81. This approach, which for the moment is still the most widely used, has not, however, always given rise to the necessary scientific approach.

Basé sur ces deux philosophies, nous proposons maintenant deux modèles de captation et de reproduction sonores. Ces deux modèles serviront à l’analyse comparative des différentes théories et ou des différents systèmes. Le premier modèle, basé sur la philosophie du système auditif comme point final de la chaîne, sera appelé modèle binaural. Le deuxième modèle, basé sur la philosophie de l’espace de reproduction comme point final de la chaîne, sera appelé « modèle géométrique »98. Avec les deux modèles, nous utiliserons une terminologie commune pour qualifier les capacités de positionnements sonores tridimensionnels. Ainsi, un système qualifié d’unidimensionnel pourra capter et reproduire les sons sur un axe donné, un système bidimensionnel pourra capter et reproduire les sons dans un plan donné et un système tridimensionnel pourra capter et reproduire les sons dans un espace ou un volume donné. Cette terminologie est identique, dans les termes et les définitions, à celle proposée par le compositeur de musique électroacoustique Werner Kaegi à la fin des années soixante8. De cette façon, nous espérons éviter les termes souvent vagues qui sont légions quand vient le temps d’évaluer la tridimensionnalité d’une captation ou d’une reproduction sonore.Based on these two philosophies, we now propose two models of sound capture and reproduction. These two models will serve for the comparative analysis of the various theories and/or systems. The first model, based on the philosophy of the auditory system as the end point of the chain, will be called the binaural model. The second model, based on the philosophy of the reproduction space as the end point of the chain, will be called the “geometric model”98. With both models, we will use a common terminology to describe the capacity for three-dimensional sound positioning. Thus, a system described as one-dimensional can capture and reproduce sounds along a given axis, a two-dimensional system can capture and reproduce sounds in a given plane and a three-dimensional system can capture and reproduce sounds in a given space or volume. This terminology is identical, in its terms and definitions, to that proposed by the electroacoustic music composer Werner Kaegi in the late sixties8. In this way, we hope to avoid the often vague terms that abound when it comes to assessing the three-dimensionality of a sound recording or reproduction.

2.1Le modèle binauralThe binaural model

Développé à partir des recherches sur l’audition directionnelle, telles que nous les avons vues au chapitre précédent, le modèle binaural de captation et de reproduction sonores se veut une réplique des facteurs physiques les plus significatifs permettant l’audition directionnelle chez l’humain. Ces facteurs sont connus : deux transducteurs disposés de part et d’autre d’un séparateur, appelé généralement un baffle, de volume assez important (comme la tête) et comportant des filtres acoustiques, physiquement asymétriques, adjacents aux transducteurs (comme les pavillons des oreilles). On doit alors obtenir d’un capteur ou d’un simulateur binaural, par reproduction mécanique ou électronique du modèle, deux canaux d’information qui contiendront des signaux analogues à ceux qui stimulent nos tympans. Si le modèle est respecté, ces signaux contiendront des différences intercanaux de temps et d’amplitude, pour l’encodage des différences directionnelles horizontales, ainsi que des modifications fréquentielles, pour l’encodage des différences directionnelles verticales.Developed from research on directional hearing, as seen in the previous chapter, the binaural model of sound capture and reproduction aims to replicate the most significant physical factors that enable directional hearing in humans. These factors are known: two transducers placed on either side of a separator, generally called a baffle, of fairly large volume (like the head), with physically asymmetrical acoustic filters adjacent to the transducers (like the pinnae). A binaural capture device or simulator, through mechanical or electronic reproduction of the model, must then provide two channels of information containing signals analogous to those that stimulate our eardrums. If the model is respected, these signals will contain interchannel time and amplitude differences, encoding horizontal directional differences, as well as frequency modifications, encoding vertical directional differences.

Puisque le tympan est un transducteur répondant aux changements absolus de pression, les transducteurs d’un capteur binaural doivent être du même type pour suivre fidèlement le modèle. À l’autre bout de la chaîne, les transducteurs de reproduction doivent livrer directement aux deux canaux auditifs l’information encodée, pour qu’elle soit convertie par notre système auditif interne et décodée de façon appropriée par le cerveau.Since the eardrum is a transducer responding to absolute changes in pressure, the transducers of a binaural capture device must be of the same type to follow the model faithfully. At the other end of the chain, the reproduction transducers must deliver the encoded information directly to the two ear canals, so that it is converted by our internal auditory system and appropriately decoded by the brain.

Au chapitre suivant, les systèmes de captation, les systèmes de simulation et les systèmes de reproduction identifiés comme étant binauraux seront analysés pour évaluer leur concordance avec le modèle binaural tel que synthétisé ici et détaillé au premier chapitre sur l’audition directionnelle binaurale.In the next chapter, capture systems, simulation systems and reproduction systems identified as binaural will be analysed to assess how well they match the binaural model as summarized here and detailed in the first chapter on binaural directional hearing.

2.2Le modèle géométriqueThe geometric model

Le modèle géométrique a une genèse un peu moins définie que le modèle binaural et ce n’est que tardivement, disons vers le début des années soixante-dix, qu’il a été énoncé dans sa totalité. Dans le modèle géométrique, les transducteurs audios, microphones et enceintes acoustiques, sont considérés comme des points capteurs et émetteurs dans l’espace. Cette réduction des transducteurs à des points est une convention généralement acceptée74,81 et fait évidemment abstraction des particularités physiques et électriques des différents microphones et enceintes acoustiques, autres que les caractéristiques directionnelles de captation et d’émission sonore78,85. Ces points transducteurs sont alors interprétés dans l’espace tridimensionnel selon les lois de la géométrie euclidienne.The geometric model has a somewhat less clearly defined genesis than the binaural model, and it was only later, around the early seventies, that it was formulated in its entirety. In the geometric model, audio transducers, microphones and loudspeakers, are considered as capture and emission points in space. This reduction of transducers to points is a generally accepted convention74,81 and obviously disregards the physical and electrical particularities of the various microphones and loudspeakers, other than the directional characteristics of sound capture and emission78,85. These transducer points are then interpreted in three-dimensional space according to the laws of Euclidean geometry.

Ainsi, un point dans l’espace ne peut définir que lui-même ; un microphone à la captation et une enceinte acoustique à la reproduction ne peuvent définir que leur propre position dans l’espace. Deux points ne peuvent définir qu’une droite ; deux micros et deux enceintes acoustiques ne vont définir qu’une dimension de l’espace. Trois points non alignés peuvent définir un plan ; trois micros et trois enceintes acoustiques non alignés pourront définir deux dimensions de l’espace. Finalement, quatre points non aplanis peuvent définir un volume ; quatre micros et quatre enceintes acoustiques non aplanis pourront définir les trois dimensions de l’espace. En utilisant la géométrie analytique, on constate que les quatre points non aplanis, s’il sont équidistants, forment le polyèdre régulier le plus simple, appelé tétraèdre, et font l’échantillonnage minimum de la sphère77 tel qu’on le voit dans la figure 2.1. En résumé, le nombre et la position des transducteurs les uns par rapport aux autres, à la captation et à la reproduction, aura une conséquence directe sur les possibilités d’encodage et de décodage des caractéristiques spatiales du phénomène acoustique original.Thus, a point in space can define only itself; a microphone in capture and a loudspeaker in reproduction can define only their own position in space. Two points can define only a straight line; two microphones and two loudspeakers will define only one dimension of space. Three non-aligned points can define a plane; three non-aligned microphones and three non-aligned loudspeakers can define two dimensions of space. Finally, four non-coplanar points can define a volume; four non-coplanar microphones and four non-coplanar loudspeakers can define the three dimensions of space. Using analytic geometry, we find that four non-coplanar points, if they are equidistant, form the simplest regular polyhedron, called a tetrahedron, and constitute the minimum sampling of the sphere77, as seen in figure 2.1. In short, the number of transducers and their positions relative to one another, in capture and in reproduction, will have a direct effect on the possibilities for encoding and decoding the spatial characteristics of the original acoustic phenomenon.

Ce modèle géométrique a vu le jour à partir d’expériences indépendantes en France, aux États-Unis et en Angleterre depuis les années cinquante. En 1952, Pierre Scheaffer proposait un tétraèdre dont les sommets étaient définis par des enceintes acoustiques pour la reproduction tridimensionnelle de la musique électroacoustique45. En 1957, Jacques Poulain testait l’installation proposé par Scheaffer74. Dans les deux cas cependant, ils n’y ont vu que le point final d’un système électroacoustique, ne concevant pas en apparence sa contrepartie pour la captation acoustique. À la fin des années soixante, on commence à expérimenter, principalement en Angleterre, la captation basée sur le tétraèdre22,39. Le modèle géométrique est aussi proposé aux États-Unis par Peter Scheiber, mais de façon tout à fait théorique. Il explique les cas d’encodage bidimensionnel à trois canaux et d’encodage tridimensionnel à quatre canaux78. En Angleterre, le mathématicien Michael Gerzon notera aussi l’intégration des captations bidimensionnelles et tridimensionnelles au même modèle géométrique39. Il testera ainsi la captation et la reproduction bidimensionnelles à trois transducteurs40 et tridimensionnelles à quatre transducteurs41. Gerzon remarquera plus tard que les conclusions auxquelles il est parvenu, en même temps que Scheiber d’ailleurs, sont entre autre basées sur les recherches du mathématicien anglais Stokes en 1852 et du mathématicien français Poincaré en 189243.This geometric model emerged from independent experiments in France, the United States and England from the fifties onwards. In 1952, Pierre Scheaffer proposed a tetrahedron whose vertices were defined by loudspeakers for the three-dimensional reproduction of electroacoustic music45. In 1957, Jacques Poulain tested the set-up proposed by Scheaffer74. In both cases, however, they saw it only as the end point of an electroacoustic system, apparently not conceiving of its counterpart for acoustic capture. In the late sixties, experiments began, mainly in England, with capture based on the tetrahedron22,39. The geometric model was also proposed in the United States by Peter Scheiber, but in a purely theoretical way. He explained the cases of two-dimensional encoding with three channels and three-dimensional encoding with four channels78. In England, the mathematician Michael Gerzon also noted the integration of two-dimensional and three-dimensional capture into the same geometric model39. He thus tested two-dimensional capture and reproduction with three transducers40 and three-dimensional capture and reproduction with four transducers41. Gerzon later remarked that the conclusions he reached, at the same time as Scheiber in fact, are based among other things on the research of the English mathematician Stokes in 1852 and of the French mathematician Poincaré in 189243.

Règle générale, on peut dire que les caractéristiques directionnelles des transducteurs en regard du modèle géométrique peuvent être omnidirectionnelles, unidirectionnelles ou bidirectionnelles. Cependant, certaines conditions s’appliquent. À la reproduction, les enceintes acoustiques unidirectionnelles ou bidirectionnelles doivent avoir leur champs d’émission de polarité positive dirigés vers le centre de masse de la figure géométrique qu’elles dessinent. Par ailleurs, pour toutes les caractéristiques directionnelles d’enceintes acoustiques, l’espace de reproduction doit être le moins réverbérant possible, jusqu’à être idéalement anéchoïque. Dans un espace réverbérant, les diverses réflexions sur les parois, en étant des réémetteurs virtuels88 disposés aux mauvais endroits, vont venir diminuer la qualité de la reproduction directionnelle. Si on ne peut assurer un certain degré d’anéchoïsme, des enceintes unidirectionnelles sont préférables aux autres directivités d’émission sonore.As a general rule, the directional characteristics of transducers with respect to the geometric model may be omnidirectional, unidirectional or bidirectional. However, certain conditions apply. In reproduction, unidirectional or bidirectional loudspeakers must have their positive-polarity emission fields directed towards the centre of mass of the geometric figure they form. Moreover, for all loudspeaker directivities, the reproduction space must be as non-reverberant as possible, ideally anechoic. In a reverberant space, the various reflections off the walls, acting as virtual re-emitters88 placed in the wrong locations, will reduce the quality of directional reproduction. If a certain degree of anechoism cannot be ensured, unidirectional loudspeakers are preferable to other directivities of sound emission.

Pour la captation, l’utilisation de microphones omnidirectionnels exigent une certaine distance ou l’utilisation d’un baffle entre les micros. La distance ou le baffle créera les différences inter-capteurs d’amplitude et de temps nécessaires à l’encodage directionnel. Si des capteurs unidirectionnels sont utilisés, l’orientation vers l’extérieur de la figure géométrique dessinée par l’assemblage de micros, en suivant les droites définies par le centre de masse et les sommets de la figure géométrique, doit être appliqué. De plus, on doit assurer la coïncidence spatiale des capteurs, c’est-à-dire la plus grande proximité possible les uns des autres. Une captation utilisant des capteurs unidirectionnels fait par ailleurs une description de l’espace avec la variation absolue de pression et avec des gradients de pression ; les micros de type cardioïde sont en effet un mélange d’omnidirectionnel et de bidirectionnel. Si une captation utilise uniquement des capteurs bidirectionnels coïncidents, la description de l’espace sera incomplète parce qu’elle n’incluera que des gradients de pression. Pour être bidimensionnelle ou tridimensionnelle, une captation avec capteurs bidirectionnels doit aussi inclure la variation absolue de pression. Ceci sera assuré par la présence d’un capteur omnidirectionnel coïncident aux capteurs bidirectionnels. De plus, les capteurs bidirectionnels doivent être idéalement disposés de manière à faire une captation orthogonale de l’espace acoustique. Ce dernier cas, un peu particulier et complexe, de capteurs bidirectionnels, nous amène à parler du modèle sous-jacent au modèle géométrique : le modèle des harmoniques sphériques.For capture, the use of omnidirectional microphones requires a certain spacing, or the use of a baffle, between the microphones. The spacing or the baffle will create the inter-capsule amplitude and time differences necessary for directional encoding. If unidirectional capsules are used, they must be oriented outwards from the geometric figure formed by the microphone array, along the straight lines defined by the centre of mass and the vertices of the geometric figure. In addition, the spatial coincidence of the capsules must be ensured, that is, they must be as close to one another as possible. A capture using unidirectional capsules also describes space with both the absolute variation of pressure and pressure gradients; cardioid microphones are in fact a mixture of omnidirectional and bidirectional. If a capture uses only coincident bidirectional capsules, the description of space will be incomplete because it will include only pressure gradients. To be two-dimensional or three-dimensional, a capture with bidirectional capsules must also include the absolute variation of pressure. This will be ensured by the presence of an omnidirectional capsule coincident with the bidirectional capsules. In addition, the bidirectional capsules should ideally be arranged so as to capture the acoustic space orthogonally. This last, somewhat special and complex case of bidirectional capsules leads us to discuss the model underlying the geometric model: the spherical harmonics model.

2.2.1Le modèle des harmoniques sphériquesThe spherical harmonics model

Jusqu’à maintenant, nous avons parlé de la directionnalité des transducteurs en termes généraux, nous contentant de les désigner comme omnidirectionnels, unidirectionnels ou bidirectionnels. Si, historiquement, ces caractéristiques directionnelles ont souvent été obtenues de manière empirique, il existe toutefois un modèle mathématique permettant de les expliquer et aussi d’imaginer des caractéristiques directionnelles encore plus complexes. Avant d’aller plus loin, procédons ici à une analogie. On peut décomposer le spectre de fréquences des phénomènes sonores complexes en ses fréquences constituantes primaires, appelées harmoniques. On voit alors que les sons complexes ne sont qu’un amalgame d’harmoniques ayant entre eux une relation mathématique. De la même façon, la directivité dans l’espace de tous les phénomènes d’émission ou de réception d’ondes peut être décomposée en constituantes primaires, appelées harmoniques sphériques36. Le modèle des harmoniques sphériques s’applique à un ensemble de phénomènes physiques, notamment électromagnétiques69, électrodynamiques, atomiques et acoustiques42. Nous allons décrire brièvement comment ce modèle peut venir éclairer la question des relations spatiales que les transducteurs établissent entre eux et avec l’espace de captation et de reproduction.Until now, we have spoken of the directionality of transducers in general terms, simply describing them as omnidirectional, unidirectional or bidirectional. Although, historically, these directional characteristics have often been obtained empirically, there is nevertheless a mathematical model that explains them and also makes it possible to imagine even more complex directional characteristics. Before going any further, let us draw an analogy. The frequency spectrum of complex sound phenomena can be decomposed into its primary constituent frequencies, called harmonics. We then see that complex sounds are merely an amalgam of harmonics bearing a mathematical relationship to one another. In the same way, the spatial directivity of all phenomena of wave emission or reception can be decomposed into primary constituents, called spherical harmonics36. The spherical harmonics model applies to a range of physical phenomena, notably electromagnetic69, electrodynamic, atomic and acoustic42 phenomena. We will briefly describe how this model can shed light on the spatial relationships that transducers establish with one another and with the capture and reproduction space.

La figure 2.2 nous montre les trois premiers harmoniques sphériques simples. On retrouve la fonction de l’harmonique sphérique d’ordre zéro à l’Eq. (1), la fonction de l’harmonique sphérique de premier ordre à l’Eq. (2) et la fonction de l’harmonique de deuxième ordre à l’Eq. (3). Le microphone suivant l’harmonique d’ordre zéro est connu sous le nom d’omnidirectionnel et le microphone suivant l’harmonique de premier ordre simple est connu sous le nom de bidirectionnel ou figure-huit. Mentionnons que les deux sphères de l’harmonique sphérique de premier ordre auront une polarité différente88. La polarité des lobes, ces derniers étant séparés par des azimuts de sensibilité nulle, alternera toujours d’un lobe à l’autre : un lobe positif sera toujours suivi d’un lobe négatif, qui lui-même sera suivi d’un lobe positif et ainsi de suite. Dans l’harmonique de deuxième ordre, les lobes pointant à 0° et à 180° seront positif et le lobe déterminé par l’axe 90°-270° sera négatif.Figure 2.2 shows the first three simple spherical harmonics. The function of the zero-order spherical harmonic is given in Eq. (1), the function of the first-order spherical harmonic in Eq. (2) and the function of the second-order harmonic in Eq. (3). The microphone following the zero-order harmonic is known as omnidirectional, and the microphone following the simple first-order harmonic is known as bidirectional or figure-of-eight. Note that the two spheres of the first-order spherical harmonic have different polarities88. The polarity of the lobes, which are separated by azimuths of zero sensitivity, always alternates from one lobe to the next: a positive lobe will always be followed by a negative lobe, which in turn will be followed by a positive lobe, and so on. In the second-order harmonic, the lobes pointing at 0° and 180° will be positive and the lobe defined by the 90°-270° axis will be negative.

Les harmoniques sphériques simples peuvent se combiner linéairement pour créer ce que nous appellerons des harmoniques sphériques complexes. Nous pouvons combiner par simple addition les signaux de microphones aux propriétés sphériques simples et obtenir des micros virtuels aux propriétés sphériques complexes. Pour obtenir des résultats impliquant une prévision mathématique simple, on doit assurer la coïncidence spatiale des micros de base et l’alignement de leurs axes de rotation, c’est-à-dire l’axe perpendiculaire au diaphragme passant par le centre de ce dernier. Il est évident que cette condition n’est pas complètement réalisable avec des micros aux boîtiers discrets. On peut toutefois assurer sans difficulté la coïncidence spatiale sur deux axes, X et Y par exemple, ce qui garantira l’intégrité de la réponse directionnelle du micro virtuel dans le plan déterminé par les deux axes. Le micro virtuel aura, toujours dans le plan où la coïncidence existe, les qualités de réponse en fréquences de ses microphones constituants. Par exemple, en combinant dans un ratio de 1:1 le signal d’un micro d’ordre zéro coïncident à un micro de premier ordre simple, de telle sorte que leurs gains respectifs soient identiques pour l’azimut 0°, on obtient un micro virtuel de premier ordre complexe. Le gain égal et de même polarité de chaque micro à 0° aura doublé l’amplitude du signal pour cet azimut lors de la combinaison. Cependant le gain égal, mais de polarité opposée à 180°, créera une annulation complète pour cet azimut lors de la combinaison des signaux. Il en va ainsi, et de façon continue bien sûr, pour tous les azimuts. Le micro virtuel ainsi obtenu est connu sous le nom de unidirectionnel ou cardioïde.Simple spherical harmonics can be combined linearly to create what we will call complex spherical harmonics. We can combine, by simple addition, the signals of microphones with simple spherical properties and obtain virtual microphones with complex spherical properties. To obtain results that can be predicted with simple mathematics, the spatial coincidence of the basic microphones and the alignment of their axes of rotation, that is, the axis perpendicular to the diaphragm passing through its centre, must be ensured. This condition obviously cannot be fully achieved with microphones in separate housings. However, spatial coincidence can easily be ensured on two axes, X and Y for example, which will guarantee the integrity of the directional response of the virtual microphone in the plane defined by the two axes. Still within the plane where coincidence exists, the virtual microphone will have the frequency response qualities of its constituent microphones. For example, by combining in a 1:1 ratio the signal of a zero-order microphone coincident with a simple first-order microphone, so that their respective gains are identical at azimuth 0°, a complex first-order virtual microphone is obtained. The equal gain, with the same polarity, of each microphone at 0° will have doubled the amplitude of the signal at this azimuth when the signals are combined. However, the equal gain, but with opposite polarity at 180°, will create a complete cancellation at this azimuth when the signals are combined. The same holds, continuously of course, for all azimuths. The virtual microphone thus obtained is known as unidirectional or cardioid.

Pour que le modèle géométrique soit valable, l’encodage de la directionnalité acoustique doit toujours inclure un ordre donné d’harmonique sphérique et tous les ordres qu’ils lui sont inférieurs32,84. Donc, si on capte l’espace avec des micros bidirectionnels, c’est une captation de premier ordre. On doit alors aussi inclure l’ordre zéro, l’omnidirectionnel. C’est aussi pour cette raison qu’une captation avec des cardioïdes de premier ordre est complète puisque ces microphones sont une combinaison linéaire de l’harmonique d’ordre zéro et de premier ordre.For the geometric model to be valid, the encoding of acoustic directionality must always include a given order of spherical harmonic and all lower orders32,84. Thus, if space is captured with bidirectional microphones, it is a first-order capture. The zero order, the omnidirectional, must then also be included. This is also why a capture with first-order cardioids is complete, since these microphones are a linear combination of the zero-order and first-order harmonics.

Au quatrième chapitre, les systèmes de captation, de simulation et de reproduction identifiés comme étant géométriques seront analysés pour évaluer leur concordance avec le modèle géométrique tel que nous l’avons décrit au point précédent.In the fourth chapter, capture, simulation and reproduction systems identified as geometric will be analysed to assess how well they match the geometric model as described above.